Problem średniowiecznego matematyka Leonarda Fibonacciego o królikach

2024 Autor: Malcolm Clapton | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-17 04:07

Oblicz, jakie potomstwo da para zwierząt do początku przyszłego roku.

Leonardo Fibonacci był wybitnym średniowiecznym matematykiem. Uważa się, że to on wprowadził do użytku cyfry arabskie. W Księdze liczydła, dziele, które wyjaśnia i promuje arytmetykę dziesiętną, Fibonacci podaje swój słynny problem dotyczący królików. Spróbuj go rozwiązać.

Na początku stycznia para nowonarodzonych królików (samce i samice) została umieszczona w zagrodzie, ogrodzonej ze wszystkich stron. Ile par królików wyprodukują do początku przyszłego roku? Należy wziąć pod uwagę następujące warunki:

• Króliki osiągają dojrzałość płciową dwa miesiące po urodzeniu, czyli na początku trzeciego miesiąca życia.
• Na początku każdego miesiąca każda dojrzała płciowo para rodzi tylko jedną parę.
• Zwierzęta rodzą się zawsze w parach „jedna samica + jeden samiec”.
• Króliki są nieśmiertelne, drapieżniki nie mogą ich zjeść.

Zobaczmy, jak rośnie liczba królików w ciągu pierwszych sześciu miesięcy:

Miesiąc 1. Jedna para młodych królików.

Miesiąc 2. Wciąż jest jedna oryginalna para. Króliki nie osiągnęły jeszcze wieku rozrodczego.

Miesiąc 3. Dwie pary: pierwotna w wieku rozrodczym + para młodych królików, które urodziła.

Miesiąc 4. Trzy pary: jedna pierwotna para + jedna para królików, które urodziła na początku miesiąca + jedna para królików, które urodziły się w trzecim miesiącu, ale nie osiągnęły jeszcze dojrzałości płciowej.

Miesiąc 5. Pięć par: jedna para pierwotna + jedna para urodzona w trzecim miesiącu i osiągnięta w wieku rozrodczym + dwie nowe pary, które urodziły + jedna para, która urodziła się w czwartym miesiącu, ale nie osiągnęła jeszcze dojrzałości.

Miesiąc 6. Osiem par: pięć par z ostatniego miesiąca + trzy pary noworodków. Itp.

Aby było to jaśniejsze, zapiszmy otrzymane dane do tabeli:

Jeśli dokładnie przyjrzysz się tabeli, możesz zidentyfikować następujący wzór. Każdorazowo liczba królików obecnych w n-tym miesiącu jest równa liczbie królików w (n-1) poprzednim miesiącu, zsumowanej z liczbą urodzonych królików. Ich liczba z kolei jest równa całkowitej liczbie zwierząt z (n - 2) miesiąca (czyli dwa miesiące temu). Stąd możesz wyprowadzić wzór:

F = F_{n - 1}+ F_{n - 2}, gdzie F - łączna liczba par królików w n-tym miesiącu, F_{n - 1} to łączna liczba par królików w poprzednim miesiącu, a F_{n - 2} - całkowita liczba par królików sprzed dwóch miesięcy.

Policzmy ilość zwierząt w kolejnych miesiącach korzystających z niego:

Miesiąc 7. 8 + 5 = 13.

Miesiąc 8. 13 + 8 = 21.

Miesiąc 9. 21 + 13 = 34.

Miesiąc 10. 34 +21 = 55.

Miesiąc 11. 55 + 34 = 89.

Miesiąc 12. 89 + 55 = 144.

Miesiąc 13 (początek przyszłego roku). 144 + 89 = 233.

Na początku 13. miesiąca, czyli pod koniec roku będziemy mieć 233 pary królików. Spośród nich 144 będzie dorosłych, a 89 będzie młodych. Wynikowa sekwencja 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 nazywana jest liczbami Fibonacciego. W nim każda nowa końcowa liczba jest równa sumie dwóch poprzednich.

Pokaż odpowiedź Ukryj odpowiedź