Czy masz szansę wygrać na loterii?

2024 Autor: Malcolm Clapton | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-17 04:07

Matematyka pomoże Ci obliczyć prawdopodobieństwo wygranej i określić, która jest bardziej opłacalna: kup 10 losów na loterię na jedną grę lub los na 10 różnych.

W amerykańskim serialu „4isla” (Numb3rs) głównym bohaterem jest matematyk, który pomaga FBI w rozwiązywaniu przestępstw. W jednym z odcinków wypowiada zdanie, że prawdopodobieństwo śmierci w drodze po los na loterię jest wyższe niż prawdopodobieństwo wygrania na loterii. Na końcu artykułu podam obliczenia związane z tym stwierdzeniem, ale teraz chcę trochę opowiedzieć o matematyce stojącej za masowym hazardem io tym, jak może pomóc ci nieznacznie zwiększyć twoje szanse.

Zasada 1. Oceń ryzyko

Dla nowoczesnej wykształconej osoby nie jest tajemnicą, że kasyna i różne zakłady hazardowe obliczają wszystkie swoje gry w taki sposób, aby zawsze być zwycięzcą i mieć zysk. Robi się to bardzo prosto: osoba musi zwrócić wygrane, które są skorelowane z jego zakładem w dół w porównaniu z jego szansami na wygraną.

Tak, tak czy inaczej, nawet najbardziej złożone modele matematyczne sprowadzają się średnio do jednego: jeśli postawisz 1 rubel i zaoferowano Ci 1000 rubli, to Twoja szansa na wygraną jest mniejsza niż 1/1000.

Nie ma wyjątków, chyba że ktoś konkretnie chce Ci dać pieniądze. Pamiętaj o tej prostej zasadzie, aby zawsze trzeźwo oceniać sytuację.

Teoria gier ocenia każdą strategię w ten sam sposób: prawdopodobieństwo wygranej jest mnożone przez jej wielkość. Z grubsza rzecz biorąc, matematyka uważa, że otrzymanie 1000 rubli gwarantowanych jest jak otrzymanie 2000 rubli z 50% szansą. Ta zasada daje ci możliwość zgrubnego porównania różnych gier ze sobą. Co jest lepsze: milion dolarów z szansą 1/100 000 czy 50 dolarów z szansą 1/4? Intuicyjnie wydaje się, że pierwsze zdanie jest ciekawsze, ale matematycznie drugie jest bardziej opłacalne.

Jeśli pozostaniesz w ramach tylko matematyki, możesz obliczyć: nie da się wygrać w kasynie, ponieważ każda wybrana strategia prowadzi do tego, że iloczyn prawdopodobieństwa wygranej przez wielkość wypłaty dla gracza jest zawsze niższy niż zakład, który już postawił.

Jednak ludzie grają, bo zysk dla nich leży nie tylko w pieniądzach, ale także w emocjach z procesu – a tym bardziej ze zwycięstwa.

A także dlatego, że pieniądze są dla nas nieliniowe: formalnie otrzymanie 1 rubla teraz jest jak otrzymanie miliona rubli z szansą 1 / 1 000 000, ale w rzeczywistości utrata rubla nie wpłynie w żaden sposób na nasz stan, nic się nie zmieni w życiu, ale zdobycie miliona to bardzo poważne wydarzenie.

Zasada 2. Graj na otwartej przestrzeni

Niestety nie możemy przeniknąć do wewnętrznej kuchni loterii. Ale warto zrozumieć przynajmniej formalną procedurę dokładnego przebiegu losowania.

Na przykład słynne automaty do gry „Jednoręki bandyta” i inne automaty do gry są w rzeczywistości trochę sztuczką: na kole, które widzi gracz, rysowane są symbole o różnych wartościach, ale jednocześnie wszystko jest tak ułożone gracz myśli, że szanse na wypadnięcie każdego symbolu są takie same. W rzeczywistości (w starych maszynach - mechanicznie, aw nowoczesnych - za pomocą programu) za każdym widocznym kołem kryje się teraźniejszość, na której wartościowe symbole są rzadkie, a często tanie.

Szanse na zdobycie 777 na automacie są mniejsze niż prawdopodobieństwo zdobycia dowolnych trzech wiśni, a różnica może być dziesięciokrotna.

W tym sensie loterie „otwarte” są o wiele bardziej uczciwe. W Stanach Zjednoczonych format jest powszechny, gdy bilet zawiera ciąg cyfr lub jest wybierany przez samego kupującego. Na przykład w Rosji preferowany jest format lotto: na bilecie znajduje się kilka linii liczb i musisz zamknąć jeden z nich (zwykła wygrana) lub wszystkie (jackpot). Teoretycznie firma loteryjna może „specjalnie” drukować i sprzedawać niewygrane losy, a następnie manipulować kolejnością kulek, ale w praktyce duże firmy tego nie robią: organizatorzy loterii zawsze wygrywają, a skandal w przypadku ujawnienia złego wiara będzie ogromna.

Jeśli zamierzasz grać, pomocne będzie zrozumienie jego mechaniki i upewnienie się, że interesariusze nie mają wpływu na wyniki.

Zasada 3. Poznaj swoje szanse

Prawdopodobieństwo wygranej w dowolnej loterii jest z reguły uważane za jedną formułę. Ale obliczenie prawdopodobieństwa na przykład zamknięcia przynajmniej jednej linii w lotto jest bardzo nietrywialne i zajęłoby cały artykuł, a może więcej niż jeden. Dlatego w rzeczywistości szansa na zdobycie pieniędzy w loterii jest większa ze względu na to, że większość loterii ma dodatkowe nagrody oprócz głównej. Ale skupię się na jackpocie dla ułatwienia oceny.

Załóżmy, że kupiliśmy los na loterię z losowym zestawem liczb. Podczas losowania losowana jest taka sama liczba kulek, a jeśli liczby na nich pokrywają się z liczbami na losie (w dowolnej kolejności, to ważne!), wtedy wygrywamy. Prawdopodobieństwo takiej wygranej oblicza się w następujący sposób:

Prawdopodobieństwo wygranej = 1 ÷ Liczba kombinacji kulek.

Liczba kombinacji bez uwzględnienia kolejności nazywana jest w matematyce liczbą kombinacji, a jeśli znasz i rozumiesz formułę jej obliczania, najprawdopodobniej nie nauczysz się niczego nowego z tego artykułu. Jeśli nie jesteś matematykiem, łatwiej będzie korzystać z usługi online, takiej jak ta. Takie usługi (i formuła leżąca u podstaw ich działania) oferują dwie liczby:

• n to całkowita liczba możliwych opcji dla jednej pozycji. W naszym przypadku przedmiotem jest kula, a kulek jest tyle, ile jest liczb w loterii, więcej o tym poniżej.
• k to liczba elementów w jednej próbce. W naszym przypadku - ile kulek losuje loteria i ile liczb znajduje się na kuponie (zakłada się, że wartości te są równe).

Jeśli więc mamy loterię z 5 wylosowanymi kulami, a w loterii jest w sumie 50 kul z liczbami od 1 do 50, to prawdopodobieństwo wygranej w niej będzie równe jeden do liczby kombinacji dla k = 5 i n = 50, czyli:

1 ÷ 2 118 760 = 0, 00005%.

Rozważmy bardziej skomplikowaną sprawę – popularną amerykańską loterię PowerBall, w której wartość jackpota przekroczyła miliard dolarów. Zgodnie z regulaminem istnieje próbka podstawowa składająca się z 5 liczb (od 1 do 69), a także jedna dodatkowa (od 1 do 26). Aby wygrać, musisz dopasować wszystkie 6 liczb.

Łatwo zrozumieć, że szansa na trafienie pierwszego seta jest równa 1 liczbie kombinacji dla k = 5 i n = 69 (czyli 11 238 513), a szansa na „złapanie” ostatniej piłki wynosi 1 na 26. Aby uzyskać wszystko na raz, te szanse należy pomnożyć, ponieważ zdarzenia muszą się wydarzyć w tym samym czasie:

(1 ÷ 11 238 513) × (1 ÷ 26) = 1 ÷ 292 201 338 = 0, 0000003%.

Innymi słowy, jeśli 300 milionów ludzi kupi bilety, wygra tylko jeden. To pokazuje, dlaczego często w ogóle nie wygrywa się jackpota: organizatorzy loterii po prostu nie drukują tylu kuponów, aby zgarnąć zwycięski.

Zasada 4. Zacznij na czas

Nawiasem mówiąc, bilet na loterię PowerBall kosztuje 2 USD. Aby obliczyć korzyść, która opłaciłaby się za zakup biletu, cenę biletu należy pomnożyć przez 292 201 338.

Dowiedz się więcej o obliczeniach. Jest to odniesienie do pierwszego punktu, który mówi, że korzyść z rozwiązania jest równa jego wartości pomnożonej przez prawdopodobieństwo. Jeśli mamy zdarzenie z prawdopodobieństwem 1/X i wartością N, to korzyścią będzie N/X. Wydajemy 2 dolary i możemy obliczyć, ile wygranych opłaciłoby zakup losu:

• 2 = N ÷ X.
• N = 2 × X, a X tutaj jest równe 292 201 338, jak pokazują obliczenia z poprzedniej części

Musisz również wziąć pod uwagę podatki (dowiedz się, jaki procent zadeklarowanej kwoty faktycznie trafi do zwycięzcy, zwykle około 70%). Oznacza to, że jackpot musi wynosić co najmniej 850 milionów dolarów, a dzieje się tak w tej loterii. Jak to jest, powiedziałem na początku, że zysk przy takim mnożeniu zawsze nie jest na korzyść gracza?

Faktem jest, że jeśli losowanie jackpota nie miało miejsca, to przechodzi do następnego razu, a zatem pieniądze gromadzą się przez pewien czas, a sprzedaż biletów trwa.

W idealnej sytuacji należy pominąć wszystkie gry bez kupowania losu, a następnie kupić dokładnie tę grę, w której faktycznie odbędzie się losowanie.

Ale nie można tego wiedzieć z góry. Możesz jednak zacząć kupować bilety, gdy tylko jackpot będzie większy niż wspomniana kwota. W takiej sytuacji matematycznie gra będzie korzystna.

Możesz również zrozumieć, co jest bardziej opłacalne: kupić wiele biletów na jedną grę czy kupić jeden bilet na wiele gier? Pomyślmy o tym.

W teorii prawdopodobieństwa istnieje pojęcie zdarzeń niepowiązanych. Oznacza to, że wynik jednego zdarzenia w żaden sposób nie wpływa na wynik innego. Na przykład, jeśli rzucisz dwiema kostkami, to spadające na nie liczby nie są ze sobą powiązane: z punktu widzenia losowości jedna kostka nie wpływa na zachowanie drugiej. Ale jeśli dobierzesz dwie karty z talii, wtedy te wydarzenia są połączone, ponieważ pierwsza karta określa, które karty pozostaną w talii.

Popularnym nieporozumieniem na ten temat jest błąd gracza. Wynika to z intuicyjnego wyobrażenia osoby o powiązaniu niepowiązanych zdarzeń.

Na przykład, jeśli moneta wypadnie rewersem wiele razy z rzędu, to mamy skłonność wierzyć, że szanse na otrzymanie reszki z tego powodu wzrosną, ale w rzeczywistości tak nie jest, szanse są zawsze takie same.

Wracając do loterii: różne gry są niepowiązanymi wydarzeniami, ponieważ kolejność piłek jest ponownie wybierana. Tak więc szanse na wygraną w konkretnej loterii nie zależą od tego, ile razy w nią grałeś wcześniej. Bardzo trudno jest to zaakceptować intuicyjnie, ponieważ za każdym razem, gdy ktoś kupuje bilet, myśli: „No, teraz będziesz miał tyle szczęścia, ile możesz, gram dużo czasu!” Ale nie, teoria prawdopodobieństwa to rzecz bez serca.

Ale kupowanie kilku losów na jedną grę proporcjonalnie zwiększa Twoje szanse, ponieważ losy w jednej grze są ze sobą powiązane: jeśli jeden wygra, to drugi (z inną kombinacją) na pewno nie wygra. Kupienie 10 biletów zwiększa szanse 10 razy, jeśli wszystkie kombinacje na biletach są różne (w rzeczywistości prawie zawsze tak jest). Innymi słowy, jeśli masz pieniądze na 10 biletów, lepiej kupić je na jedną grę, niż kupić z biletem na 10 gier.

Po wyjaśnieniach w komentarzach można śmiało powiedzieć, że prawdopodobieństwo wygrania przynajmniej jednej gry z serii N jest wyższe niż prawdopodobieństwo wygranej w jednej konkretnej grze. Jest to jednak wciąż nieco mniej niż szanse na wygraną kupując N kuponów na jeden mecz, ale różnica jest dość niewielka.

Jeśli raz w miesiącu bierzesz bilet z pensji ze względu na hazard, najprawdopodobniej sam proces gry ma dla ciebie znaczenie. Matematycznie bardziej opłaca się odłożyć te pieniądze i kupić od razu 12 biletów pod koniec roku, choć oczywiście przegrana w takiej sytuacji będzie odbierana bardziej przygniatająco.

Zasada 5. Zatrzymaj się na czas

I na koniec chcę powiedzieć, że nawet prawdopodobieństwo 1/100 z punktu widzenia jednostki jest bardzo małe. Jeśli raz w miesiącu sprawdzisz to prawdopodobieństwo, to w ciągu 8 lat zrobisz 100 takich sprawdzeń. Wyobraź sobie, ile razy prawdopodobieństwo jest mniejsze o 1 / 1 000 000 lub 1 / 100 000 000? Dlatego zawsze stawiaj tylko kwotę, której nie boisz się całkowicie stracić, a nie rubla więcej.

Podsumowując, tak jak obiecałem, dokonam oceny wypowiedzi z początku artykułu. Te dane dotyczą Stanów Zjednoczonych, ponieważ zestawienie zostało sformułowane specjalnie dla tego kraju, poza tym obliczyliśmy już kursy na amerykańską loterię powyżej.

Według statystyk, w 2016 roku w Stanach Zjednoczonych popełniono około 17 000 morderstw, potraktujemy to jako średnią liczbę. A także załóżmy, że potencjalną ofiarą morderstwa jest osoba, która jest już dorosła, ale nie stara – czyli około 50 lat życia. Oznacza to, że w ciągu tych 50 lat zostanie popełnionych około 850 000 morderstw. Populacja Stanów Zjednoczonych wynosi 325,7 miliona, więc szanse na uwzględnienie w losowej próbie 850 000 są następujące:

850 000 ÷ 325 700 000 = 1 ÷ 383 = 0, 3%.

Ale czekaj, to tylko szansa na śmierć. Mianowicie w drodze po los na loterię? Załóżmy, że każdego dnia wychodzisz z domu do pracy, wychodzisz w jeden weekend, a następnego zostajesz w domu. Średnia wynosi 6 dni w tygodniu, czyli około 26 dni w miesiącu. A raz w miesiącu kupujesz los na loterię. Dlatego uzyskane liczby należy również podzielić przez 26:

(1 ÷ 383) ÷ 26 = 1 ÷ 9 958 = 0, 01%.

I nawet przy tak przybliżonym oszacowaniu jest to znacznie bardziej prawdopodobne niż wygrana. Dokładniej, jest to 30 000 razy bardziej prawdopodobne. W rzeczywistości oczywiście liczby będą różne: człowiek jest zagrożony nie tylko na ulicy, niektórzy ludzie ryzykują więcej niż inni, kobiety giną prawie cztery razy rzadziej niż mężczyźni. Ale zasada jest następująca.

Choć życie bez wiary w dobre wydarzenia iz ciągłym oczekiwaniem na złe, nawet znajomość matematyki nie jest najlepszym wyborem.