Nagie statystyki to najciekawsza książka o najnudniejszej nauce

2024 Autor: Malcolm Clapton | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-17 04:07

Kto powiedział, że statystyki to nudna i bezużyteczna nauka? Charles Wheelan przekonująco twierdzi, że jest to dalekie od przypadku. Dziś publikujemy fragment jego książki o tym, jak za pomocą statystyk wygrać samochód, a nie kozę i zrozumieć, że intuicja może cię zmylić.

Zagadka Monty Hall

Tajemnica Monty Halla to słynny problem teorii prawdopodobieństwa, który wprawił w zakłopotanie uczestników popularnego w kilku krajach teleturnieju Let’s Make a Deal, którego premiera odbyła się w Stanach Zjednoczonych w 1963 roku. (Pamiętam za każdym razem, gdy oglądałem ten program jako dziecko, kiedy nie chodziłem do szkoły z powodu choroby.) Już we wstępie do książki zaznaczyłem, że ten teleturniej może być interesujący dla statystyków. Na koniec każdego ze swoich numerów uczestnik, który dotarł do finału, stanął z Monty Hall przed trzema dużymi drzwiami: Drzwiami nr 1, Drzwiami nr 2 i Drzwiami nr 3. Monty Hall wyjaśnił finalistce, że za jednym z tych drzwi była bardzo cenną nagrodą - na przykład nowy samochód i koza za pozostałymi dwoma. Finalista musiał wybrać jedne z drzwi i dowiedzieć się, co się za nimi kryje. (Nie wiem, czy wśród uczestników pokazu była chociaż jedna osoba, która chciała zdobyć kozę, ale dla uproszczenia przyjmiemy, że zdecydowana większość uczestników marzyła o nowym aucie.)

Początkowe prawdopodobieństwo wygranej jest dość łatwe do ustalenia. Jest troje drzwi, dwoje kryje kozę, a trzeci kryje samochód. Gdy uczestnik pokazu staje przed tymi drzwiami z Montym Hallem, ma jedną z trzech możliwości wyboru drzwi, za którymi znajduje się samochód. Ale, jak wspomniano powyżej, w Let’s Make a Deal jest pewien haczyk, który uwiecznił ten program telewizyjny i jego prezentera w literaturze dotyczącej teorii prawdopodobieństwa. Po tym, jak finalista pokazu wskazuje na jedno z trzech drzwi, Monty Hall otwiera jedne z dwóch pozostałych drzwi, za którymi zawsze jest koza. Następnie Monty Hall pyta finalistę, czy chce zmienić zdanie, czyli porzucić wcześniej wybrane zamknięte drzwi na rzecz innych zamkniętych drzwi.

Załóżmy dla przykładu, że uczestnik wskazał Drzwi nr 1. Następnie Monty Hall otworzył Drzwi nr 3, za którymi ukrywała się koza. Dwoje drzwi, Drzwi #1 i Drzwi #2, pozostają zamknięte. Gdyby cenna nagroda znajdowała się za drzwiami nr 1, finalista by ją wygrał, a gdyby znajdowała się za drzwiami nr 2, przegrałby. W tym momencie Monty Hall pyta gracza, czy chce zmienić swój początkowy wybór (w tym przypadku porzucić Drzwi #1 na rzecz Drzwi #2). Będziesz oczywiście pamiętać, że obydwoje drzwi są nadal zamknięte. Jedyną nową informacją, jaką otrzymał uczestnik, było to, że koza znalazła się za jednym z dwojga drzwi, których nie wybrał.

Czy finalista powinien zrezygnować z początkowego wyboru na rzecz Drzwi #2?

Odpowiadam: tak, powinno. Jeśli pozostanie przy pierwotnym wyborze, prawdopodobieństwo wygrania cennej nagrody wyniesie ⅓; jeśli zmieni zdanie i wskaże Drzwi nr 2, prawdopodobieństwo wygrania cennej nagrody wyniesie ⅔. Jeśli mi nie wierzysz, czytaj dalej.

Przyznam, że ta odpowiedź na pierwszy rzut oka nie jest oczywista. Wydaje się, że którekolwiek z pozostałych dwóch drzwi wybierze finalista, prawdopodobieństwo otrzymania cennej nagrody w obu przypadkach wynosi ⅓. Jest troje zamkniętych drzwi. Na początku prawdopodobieństwo, że za którymś z nich kryje się cenna nagroda, wynosi ⅓. Czy decyzja finalisty o zmianie swojego wyboru na inne zamknięte drzwi ma znaczenie?

Oczywiście, ponieważ haczyk polega na tym, że Monty Hall wie, co kryje się za każdymi drzwiami. Jeśli finalista wybierze Drzwi nr 1, a za nimi rzeczywiście znajduje się samochód, Monty Hall może otworzyć Drzwi nr 2 lub Drzwi nr 3, aby ujawnić czającą się za nimi kozę.

Jeśli finalista wybierze Drzwi 1, a samochód znajduje się za Drzwiami 2, Monty Hall otworzy Drzwi 3.

Jeśli finalista wskaże drzwi 1, a samochód znajduje się za drzwiami 3, Monty Hall otworzy drzwi 2.

Zmieniając zdanie po tym, jak prezenter otworzy jedne z drzwi, finalista zyskuje przewagę wybierając dwoje drzwi zamiast jednych. O słuszności tej analizy postaram się przekonać na trzy różne sposoby.

Pierwszy ma charakter empiryczny. W 2008 roku felietonista New York Times John Tyerney napisał o zjawisku Monty Hall. Następnie pracownicy publikacji opracowali interaktywny program, który pozwala grać w tę grę i samodzielnie decydować, czy zmienić swój początkowy wybór, czy nie. (Program przewiduje nawet małe kozy i małe samochody, które wyłaniają się zza drzwi.) Program rejestruje Twoje wygrane w przypadku zmiany początkowego wyboru oraz w przypadku, gdy nie jesteś przekonany. Zapłaciłem jednej z moich córek za zagranie w tę grę 100 razy, za każdym razem zmieniając jej pierwotny wybór. Zapłaciłem też jej bratu za zagranie w tę grę 100 razy, za każdym razem zachowując pierwotną decyzję. Córka wygrała 72 razy; jej brat 33 razy. Każdy wysiłek został nagrodzony dwoma dolarami.

Dowody z odcinków gry Let’s Make a Deal pokazują ten sam schemat. Według Leonarda Mlodinowa, autora The Drunkard's Walk, finaliści, którzy zmienili swój pierwotny wybór, mieli około dwa razy większe szanse na wygraną niż ci, którzy nie byli przekonani.

Moje drugie wyjaśnienie tego zjawiska opiera się na intuicji. Powiedzmy, że zasady gry nieco się zmieniły. Na przykład finalista rozpoczyna od wybrania jednych z trzech drzwi: Drzwi nr 1, Drzwi nr 2 i Drzwi nr 3, zgodnie z pierwotnym planem. Jednak przed otwarciem któregokolwiek z drzwi, za którymi ukrywa się koza, Monty Hall pyta: „Czy zgadzasz się zrezygnować z wyboru w zamian za otwarcie dwojga pozostałych drzwi?” Tak więc, jeśli wybrałeś Drzwi #1, możesz zmienić zdanie na korzyść Drzwi #2 i Drzwi #3. Jeśli najpierw wskazałeś Drzwi #3, możesz wybrać Drzwi #1 i Drzwi #2. I tak dalej.

Nie byłaby to dla ciebie szczególnie trudna decyzja: jest całkiem oczywiste, że powinieneś zrezygnować z początkowego wyboru na rzecz dwóch pozostałych drzwi, ponieważ zwiększa to szanse na wygraną z ⅓ do ⅔. Najciekawsze jest to, że w istocie to właśnie Monty Hall oferuje ci w prawdziwej grze, po otwarciu drzwi, za którymi ukrywa się koza. Podstawowym faktem jest to, że gdybyś miał możliwość wyboru dwojga drzwi, koza i tak byłaby ukryta za jednym z nich. Kiedy Monty Hall otwiera drzwi, za którymi znajduje się koza i dopiero wtedy pyta, czy zgadzasz się na zmianę początkowego wyboru, znacznie zwiększa to Twoje szanse na zdobycie cennej nagrody! Zasadniczo Monty Hall mówi ci: „Szanse na cenną nagrodę ukrytą za jednymi z dwóch drzwi, których nie wybrałeś za pierwszym razem, wynoszą ⅔, czyli wciąż więcej niż ⅓!”

Możesz to sobie wyobrazić w ten sposób. Powiedzmy, że wskazałeś Drzwi #1. Następnie Monty Hall daje Ci możliwość rezygnacji z pierwotnej decyzji na rzecz Drzwi #2 i Drzwi #3. Zgadzasz się i masz do dyspozycji dwoje drzwi, co oznacza, że masz każdy powód spodziewa się wygrać cenną nagrodę z prawdopodobieństwem ⅔, a nie ⅓. Co by się stało, gdyby w tym momencie Monty Hall otworzył Drzwi 3 – jedne z „twych” drzwi – a za nimi była koza? Czy ten fakt zachwiałby twoim zaufaniem do twojej decyzji? Oczywiście nie. Gdyby samochód chował się za drzwiami 3, Monty Hall otworzyłby drzwi 2! Niczego ci nie pokazał.

Kiedy gra jest rozgrywana zgodnie ze scenariuszem podróbki, Monty Hall naprawdę daje ci wybór między drzwiami, które określiłeś na początku, a dwoma pozostałymi drzwiami, z których jednym może być samochód. Kiedy Monty Hall otwiera drzwi, za którymi ukrywa się koza, po prostu wyświadcza ci przysługę, pokazując, które z pozostałych dwóch drzwi nie są samochodem. Masz takie same szanse na wygraną w obu poniższych scenariuszach.

1. Wybranie Drzwi nr 1, a następnie wyrażenie zgody na „przełączenie” na Drzwi nr 2 i Drzwi nr 3 jeszcze przed otwarciem jakichkolwiek drzwi.
2. Wybranie Drzwi #1, a następnie wyrażenie zgody na "przełączenie" na Drzwi #2 po tym, jak Monty Hall pokaże ci kozę za Drzwiami #3 (lub wybranie Drzwi #3 po tym, jak Monty Hall pokaże ci kozę za Drzwiami #2).

W obu przypadkach rezygnacja z pierwotnej decyzji daje przewagę dwojga drzwi nad jednym i w ten sposób możesz podwoić swoje szanse na wygraną z ⅓ do ⅔.

Moja trzecia opcja to bardziej radykalna wersja tej samej podstawowej intuicji. Powiedzmy, że Monty Hall poprosi Cię o wybranie jednego ze 100 drzwi (zamiast jednego z trzech). Gdy to zrobisz, powiedzmy, wskazując na Drzwi # 47, otworzy 98 pozostałych drzwi, które odsłonią kozy. Teraz tylko dwoje drzwi pozostaje zamkniętych: twoje drzwi nr 47 i kolejne, na przykład nr 61. Czy powinieneś zrezygnować z początkowego wyboru?

Oczywiście, że tak! Istnieje 99% szans, że samochód znajduje się za jednymi z drzwi, których na początku nie wybrałeś. Monty Hall zrobił ci grzeczność, otwierając 98 z tych drzwi, za nimi nie było samochodu. Tak więc istnieje tylko 1 na 100 szans, że Twój początkowy wybór (Drzwi # 47) będzie poprawny. Jednocześnie istnieje 99 na 100 szans, że Twój początkowy wybór był błędny. Jeśli tak, to samochód znajduje się za pozostałymi drzwiami, czyli drzwiami nr 61. Jeśli chcesz grać z prawdopodobieństwem wygranej 99 razy na 100, to powinieneś „przełączyć się” na drzwi nr 61.

Krótko mówiąc, jeśli kiedykolwiek będziesz musiał zagrać w Let’s Make a Deal, na pewno będziesz musiał wycofać się z pierwotnej decyzji, gdy Monty Hall (lub ktokolwiek go zastąpi) da ci wybór. Bardziej uniwersalnym wnioskiem z tego przykładu jest to, że twoje intuicyjne domysły dotyczące prawdopodobieństwa pewnych zdarzeń mogą czasami cię wprowadzić w błąd.